深圳天鹰兄弟无人机创新有限公司

Eagle Brothers UAV Innovation

Speaker黄锦山Albert Vol.01 技术分享 · Internal Talks

Vol. 01 · Technical Sharing

无人机飞行原理

UAV Flight Principles · 从空气到性能的完整推导

一架无人机能飞多高、多快、多远、多久,从来不是单一参数说了算。它的根源是空气、螺旋桨、电机、电池、姿态五个子系统层层耦合的结果。本讲把这条因果链拆开,用严格推导走一遍,再用尺度关系把结论收回到设计直觉。

设计参数的"应该值"从不在表格里,而在公式的最优点上。 — 工程的浪漫

Chapter 00

全局符号约定

Notation & Symbols

为避免混淆,先把整份讲义会用到的符号统一列出来,后面公式直接引用。

0.1 环境与几何参数 Environment & Geometry

符号 Symbol	含义 Description	单位 Unit
$\rho$	空气密度 Air density	kg/m³
$\rho_0$	海平面标准空气密度 = 1.225	kg/m³
$T_0$	海平面标准温度 = 288.15 (15°C)	K
$h$	海拔高度 Altitude	m
$g$	重力加速度 = 9.81	m/s²

0.2 飞行器几何与气动参数 Airframe & Aerodynamics

符号 Symbol	含义 Description	单位 Unit
$m$	整机总质量 (含电池+载荷) Total mass	kg
$m_0$	空机+载荷质量 (不含电池)	kg
$m_b$	电池质量 Battery mass	kg
$W = mg$	整机重力 Weight	N
$N_r$	旋翼数量 Number of rotors	个
$D$	螺旋桨直径 Propeller diameter	m
$A_d = \pi D^2/4$	单桨桨盘面积 Disk area	m²
$S$	机身迎风面积 Frontal area	m²
$C_D$	机身阻力系数 (随俯仰角变化)	—

0.3 螺旋桨与动力参数 Propeller & Powertrain

符号 Symbol	含义 Description	单位 Unit
$n$	螺旋桨转速 Rotational speed	r/s
$C_T$	螺旋桨推力系数 Thrust coefficient	—
$C_Q$	螺旋桨扭矩系数 Torque coefficient	—
$T$	单桨推力 Thrust per rotor	N
$Q$	单桨扭矩 Torque per rotor	N·m
$K_V$	电机 KV 值 Motor velocity constant	rpm/V
$K_T$	电机扭矩系数 Torque constant	N·m/A
$\eta$	电调+电机+桨综合效率	—

0.4 电池与性能参数 Battery & Performance

符号 Symbol	含义 Description	单位 Unit
$U_b$	电池标称电压 Nominal voltage	V
$C_b$	电池容量 Battery capacity	Ah
$E = U_b C_b$	电池可用能量 Usable energy	Wh / J
$e$	电池能量密度 Energy density	Wh/kg
$\theta$	机身俯仰角 Pitch angle	rad / °
$v$	飞行速度 Flight velocity	m/s

Chapter 01

空气建模

Air Density Modeling — The Stage of Flight

无人机所有的力都来自和空气的相互作用,所以第一件事是确定空气密度(air density)。空气密度是飞行性能链条中所有公式的"乘数因子"——它降一点,整机性能跟着掉一截。

1.1 国际标准大气模型 ISA · International Standard Atmosphere

温度方程 (对流层 0~11 km 内,温度随高度线性递减):

T(h) = T_0 - L \cdot h

变量说明 / Variables

$T(h)$海拔 $h$ 处的大气温度 (K)
$L$温度递减率 (lapse rate) = 0.0065 K/m
$h$海拔高度 (m)
$T_0$海平面标准温度 = 288.15 K

密度方程 (由流体静力学 $dp = -\rho g\,dh$ 与理想气体定律 $p = \rho R_s T$ 联立):

$$\rho(h) = \rho_0 \left(1 - \frac{L \cdot h}{T_0}\right)^{\frac{gM}{RL} - 1}$$

变量说明 / Variables

$\rho_0$海平面标准空气密度 = 1.225 kg/m³
$M$空气摩尔质量 = 0.029 kg/mol
$R$通用气体常数 = 8.314 J/(mol·K)
指数$\dfrac{gM}{RL} - 1 \approx 4.256$

温度修正 (同一海拔下温度变化的影响):

\rho \propto \frac{1}{T}

这是从理想气体定律 $\rho = p/(R_s T)$ 直接得出的——气压不变时,温度升高,密度下降。

Chapter 02

螺旋桨建模

Propeller Aerodynamics — How Thrust is Generated

螺旋桨是无人机推力的直接来源(thrust generator)。我们用两套等价模型描述它:动量理论给出物理本质,工程系数模型用于实测拟合。

2.1 动量理论 Momentum Theory · Physical Foundation

把螺旋桨简化为"加速空气的桨盘"(actuator disk)。设桨盘下方诱导气流速度(induced velocity) $v_i$,远场气流速度 $2v_i$ (动量定理推论)。

推力方程 由牛顿第二定律 $F = \dot m \cdot \Delta v$:

T = \dot m \cdot 2v_i = (\rho \cdot A_d \cdot v_i)(2v_i) = 2\rho A_d v_i^2

变量说明 / Variables

$\dot m$单位时间通过桨盘的空气质量 mass flow rate (kg/s),$\dot m = \rho A_d v_i$
$\Delta v$气流速度变化量 = $2v_i$ (m/s)
$A_d$桨盘扫掠面积 disk area = $\pi D^2 / 4$ (m²)
$v_i$桨盘处诱导速度 induced velocity (m/s)

由此解出诱导速度:

v_i = \sqrt{\frac{T}{2\rho A_d}}

理想悬停功率 (功率 = 推力 × 诱导速度):

$$P_{\text{ideal}} = T \cdot v_i = \frac{T^{3/2}}{\sqrt{2\rho A_d}} = \frac{T^{3/2}}{D \sqrt{\pi \rho/2}}$$

这个公式最重要的信息是:同样的推力,桨盘越大,所需功率越小——这是大桨高效的物理本质。

2.2 工程系数模型 Coefficient-Based Engineering Model

实际工程中,螺旋桨的复杂气动特性用无量纲系数(non-dimensional coefficients) 表征,从拉力台实测得到:

$$T = C_T \cdot \rho \cdot n^2 \cdot D^4$$ $$Q = C_Q \cdot \rho \cdot n^2 \cdot D^5$$ $$P_{\text{prop}} = 2\pi n Q = 2\pi C_Q \cdot \rho \cdot n^3 \cdot D^5$$

变量说明 / Variables

$C_T$推力系数 thrust coefficient — 由桨型、桨距决定的无量纲常数
$C_Q$扭矩系数 torque coefficient — 同上
$n$螺旋桨转速 (转/秒,r/s) — 注意不是 rpm,1 rpm = 1/60 r/s
$D$螺旋桨直径 (m)
$\rho$空气密度 (kg/m³)

这套公式揭示了关键比例关系:

推力 $T \propto D^4$ —— 直径对推力是四次方影响
推力 $T \propto n^2$ —— 转速对推力是平方影响
功率 $P \propto D^5$ (转速恒定) 或 $P \propto 1/D$ (推力恒定)
功率 $P \propto n^3$ —— 转速对功率是三次方影响
推力与功率都正比于空气密度 $\rho$

Chapter 03

电机·电调建模

Motor & ESC — The Energy Converter

电机和电调把电能(electrical energy)转化为机械能(mechanical energy),驱动螺旋桨旋转。这一节做理想化建模,推导电池端实际功率与整机重量的关系。

3.1 理想电机模型 Ideal Brushless Motor Model

无刷电机(brushless motor) 的两个核心方程:

$$U_m = K_E \cdot \omega + I_m \cdot R_m$$ $$\tau_m = K_T \cdot I_m$$

变量说明 / Variables

$U_m$电机端电压 motor terminal voltage (V)
$\omega$角速度 angular velocity (rad/s),与转速 $n$ 关系 $\omega = 2\pi n$
$K_E$反电动势常数 back-EMF constant (V·s/rad)
$K_T$扭矩常数 torque constant (N·m/A),$K_T = \dfrac{60}{2\pi K_V}$
$I_m$电机工作电流 motor current (A)
$R_m$电机绕组内阻 winding resistance (Ω)
$\tau_m$电机输出扭矩 motor torque (N·m)

第一个方程描述电压与转速的关系——电压减去内阻压降等于反电动势,正比于转速;第二个方程描述电流与扭矩的关系——扭矩正比于电流。

3.2 功率传递链 Power Transmission Chain

电池 Battery η_ESC ≈ 0.95 电调 ESC η_motor ≈ 0.85 电机 Motor FM ≈ 0.7 螺旋桨 Propeller 升力 Lift

电池端到桨面综合效率 η ≈ 0.5 ~ 0.6

电池端实际输出功率:

P_{\text{batt}} = \frac{P_{\text{prop}}}{\eta} = \frac{2\pi C_Q \rho n^3 D^5}{\eta}

由悬停推力需求 $T = mg/N_r$ 反推所需转速,代入功率公式简化得:

$$P_{\text{batt}} \propto \frac{(mg)^{3/2}}{\sqrt{\rho \cdot N_r \cdot A_d} \cdot \eta}$$

这个公式是后续所有性能推导的基础——悬停所需电功率与整机重量的 1.5 次方成正比,与桨盘面积平方根、空气密度平方根成反比。

Chapter 04

电池建模

Battery Model — The Energy Boundary

电池(battery)是无人机能源的边界,决定续航和航程的上限。这一节给出能量、有效容量、能量密度三个维度的描述。

4.1 能量存储 Energy Storage

$$E = U_b \cdot C_b \quad \text{(Wh)}$$

转化为焦耳:$E_J = U_b \cdot C_b \cdot 3600$ (J)。

变量说明 / Variables

$U_b$电池标称电压 nominal voltage (V)
$C_b$电池容量 battery capacity (Ah,即安时)
$E$电池总能量 total energy (Wh,瓦时)

4.2 实际可用能量的三个折扣 Three Discounts on Usable Energy

①截止电压保护 / Cutoff Voltage Protection

不能放空,实际可用约 80~90%。

②Peukert 效应 / Peukert Effect

高倍率放电,可用容量缩水:

C_{\text{eff}} = C_b \left(\frac{I_{\text{ref}}}{I_b}\right)^{k-1}

对于锂电池,Peukert 系数 $k \approx 1.05 \sim 1.15$,放电倍率越高,可用容量越小。

③电池内阻压降 / Internal Resistance Drop

U_{\text{terminal}} = U_{\text{OCV}} - I_b \cdot R_{\text{internal}}

变量说明 / Variables

$U_{\text{OCV}}$开路电压 open circuit voltage (V)
$U_{\text{terminal}}$实际输出端电压 (V)
$R_{\text{internal}}$电池内阻 (Ω)
$I_b$放电电流 discharge current (A)

4.3 能量密度 Energy Density

$$e = \frac{E}{m_b} \approx 200 \sim 260 \text{ Wh/kg} \quad \text{(主流锂电池)}$$

能量密度 $e$ 是电池技术的"硬指标"——它把质量(mass)和能量(energy)联系起来,是后面续航推导的关键参数。

Chapter 05

姿态对飞行的影响

Attitude Effects — Tilt & Forward Flight

无人机通过机身倾斜(body tilt)实现水平飞行——倾角既决定飞行方向和速度,也直接影响功耗。这一节是连接"悬停"和"前飞"的桥梁。

5.1 力学分析 Force Decomposition

无人机以倾角 $\theta$ 前飞时,旋翼合力 (总推力 $T_{\text{total}}$) 沿机身轴向倾斜,分解为垂直和水平两个分量:

前飞时的力分解 · Force decomposition in forward flight

两个力平衡方程(匀速平飞条件):

$$T_{\text{total}} \cos\theta = mg \quad \text{(竖直平衡 / Vertical)}$$ $$T_{\text{total}} \sin\theta = F_{\text{drag}} = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_D S \quad \text{(水平平衡 / Horizontal)}$$

变量说明 / Variables

$T_{\text{total}}$所有旋翼合推力 total thrust (N)
$\theta$机身俯仰角 pitch angle
$F_{\text{drag}}$机身气动阻力 aerodynamic drag (N)
$S$迎风面积 frontal area (m²)
$C_D$阻力系数 drag coefficient (随 $\theta$ 变化)

5.2 由力平衡方程推导 Derivation

由竖直方程直接得到总推力:

$$T_{\text{total}} = \frac{mg}{\cos\theta}$$

由水平方程联立:

\tan\theta = \frac{F_{\text{drag}}}{mg} = \frac{\rho v^2 C_D S}{2 mg}

这告诉我们:倾角越大,所需推力越大 (按 $1/\cos\theta$ 增加),速度也越快 (按 $\tan\theta$ 增加)。

5.3 阻力系数随倾角变化 Drag Coefficient as a Function of Pitch

机身从水平到竖直,迎风形状变化,阻力系数也随之变化。常用线性插值模型:

$$C_D(\theta) = C_{D1} \cos^2\theta + C_{D2} \sin^2\theta$$

变量说明 / Variables

$C_{D1}$$\theta = 0°$ (水平正向) 时的阻力系数
$C_{D2}$$\theta = 90°$ (机底朝前) 时的阻力系数,通常 $C_{D2} \gg C_{D1}$

5.4 倾角对功率的影响 Power Cost of Tilt

由 $T_{\text{total}} = mg/\cos\theta$,代入悬停功率公式:

$$P(\theta) = \frac{P_{\text{hover}}}{(\cos\theta)^{3/2}}$$

倾角 θ	推力倍数 $T/T_{hover}$	功率倍数 $P/P_{hover}$
0° (悬停)	1.00	1.00
15°	1.04	1.06
30°	1.15	1.24
45°	1.41	1.68
60°	2.00	2.83

Chapter 06

四大飞行性能推导

Flight Performance — The Four Key Parameters

把前面五个模块的公式整合起来,严格推导无人机的四大核心性能指标:飞多高(ceiling)、飞多快(max speed)、飞多远(range)、飞多久(endurance)。

6.1 飞多高 — 升限分析 Service Ceiling

升限不是单一约束决定的,要同时满足两个条件,取较小值。

约束 ①推力/功率约束 / Power-Limited Ceiling

最大可用功率 $P_{\max}$ 刚好维持悬停时,达到推力升限。在升限处空气密度 $\rho_{\text{ceil}}$ 满足:

P_{\max} \cdot \eta = \frac{(mg)^{3/2}}{\sqrt{2\rho_{\text{ceil}} \cdot N_r \cdot A_d}}

解出升限处密度:

$$\rho_{\text{ceil}} = \frac{(mg)^3}{2 N_r A_d (\eta P_{\max})^2}$$

再由 1.1 节的密度方程 $\rho(h)$ 反解出对应的升限高度 $h_{\text{ceil,P}}$。

约束 ②电池能量约束 / Energy-Limited Ceiling

光能上去还不够——电池要能支持飞机爬升到那个高度并安全返回。

爬升过程所需能量(简化估算,不计阻力做功):

E_{\text{climb}} = \int_0^{h} P_{\text{climb}}(h') \cdot \frac{dh'}{v_c}

变量说明 / Variables

$P_{\text{climb}}$爬升时所需功率 = $P_{\text{hover}} + mg \cdot v_c / \eta$ (W)
$v_c$爬升速度 climb rate (m/s)
$E_{\text{climb}}$爬升消耗能量 (J)

简化估算 (取平均功率):

E_{\text{required}} \approx 2 \cdot \bar{P} \cdot \frac{h}{v_c} + E_{\text{reserve}}

电池能量约束的升限 $h_{\text{ceil,E}}$ 满足:

E_{\text{required}}(h) = E_{\text{available}}

综合实际升限 / Actual Ceiling

$$h_{\max} = \min(h_{\text{ceil,P}},\ h_{\text{ceil,E}})$$

即:实际升限 = 推力升限与能量升限中的较小值。

6.2 飞多快 — 最大平飞速度 Maximum Forward Speed

推导逻辑:最大速度时,最大功率产生最大推力,这个推力分解为两部分——一部分克服重力维持高度,另一部分克服阻力推动前进。

Step 1由最大功率推出最大推力 / Max Power → Max Thrust

由悬停功率公式倒推 (此处 $T_{\max}$ 为整机合推力,$N_r$ 桨并联):

P_{\max} \cdot \eta = \frac{T_{\max}^{3/2}}{\sqrt{2\rho \cdot N_r \cdot A_d}}

解出:

$$T_{\max} = \left( \eta P_{\max} \sqrt{2\rho N_r A_d} \right)^{2/3}$$

Step 2推力分解 / Thrust Decomposition

由竖直平衡 $T_{\max} \cos\theta_{\max} = mg$:

\cos\theta_{\max} = \frac{mg}{T_{\max}}

由勾股关系:

\sin\theta_{\max} = \sqrt{1 - \left(\frac{mg}{T_{\max}}\right)^2} = \frac{\sqrt{T_{\max}^2 - (mg)^2}}{T_{\max}}

Step 3由水平平衡解最大速度 / Solve $v_{\max}$

水平方向:$T_{\max} \sin\theta_{\max} = \tfrac{1}{2}\rho v_{\max}^2 C_D S$,即:

\sqrt{T_{\max}^2 - (mg)^2} = \tfrac{1}{2}\rho v_{\max}^2 C_D S

$$v_{\max} = \sqrt{\frac{2\sqrt{T_{\max}^2 - (mg)^2}}{\rho \cdot C_D \cdot S}}$$

极限近似大推重比情形 / High Thrust-to-Weight Ratio

当推重比足够大 ($T_{\max} \gg mg$),可近似 $\sqrt{T_{\max}^2 - (mg)^2} \approx T_{\max}$,化为:

v_{\max} \approx \sqrt{\frac{2T_{\max}}{\rho C_D S}} \propto T_{\max}^{1/2} \propto P_{\max}^{1/3}

回到了"立方根关系"——但严格表达式必须包含重力项。

实际约束俯仰角控制极限 / Pitch Angle Limit

无人机俯仰角受控制权限和结构限制,通常 $\theta_{\max} \approx 30° \sim 45°$。如果按上面公式解出的 $\theta_{\max}$ 超过这个值,实际 $v_{\max}$ 由控制极限决定:

v_{\max} = \sqrt{\frac{2 mg \tan\theta_{\max,\text{控制}}}{\rho C_D S}}

6.3 飞多远 — 最大航程 Maximum Range

航程不是简单的"功率越大飞越远"——它存在一个最优巡航速度,且需要严格的功率分解才能正确推导。

Step 1平飞总功率分解 / Total Power Decomposition

无人机平飞时,旋翼端消耗的总功率分为三部分:

$$P_{\text{total}}(v) = P_i(v) + P_p(v) + P_0$$

变量说明 / Variables

$P_i(v)$诱导功率 induced power — 旋翼把空气向下/向后推所做的功 (支撑重量的代价)
$P_p(v)$寄生功率 parasite power — 机身被气流推开消耗的功率 (克服阻力)
$P_0$型阻功率 profile power — 桨叶自身在气流中的阻力,与速度弱相关,近似为常数,以下推导忽略

Step 2$P_i(v)$ 与 $P_p(v)$ 的具体表达式

诱导功率 / Induced Power:前飞时旋翼气流被前进速度 $v$ 加速,诱导速度减小。高速近似下 (小俯仰角,$\cos\theta \approx 1$):

P_i \approx \frac{T_{\text{total}}^2}{2\rho \cdot N_r A_d \cdot v} \approx \frac{(mg)^2}{2\rho N_r A_d \cdot v}

寄生功率 / Parasite Power:

P_p = F_{\text{drag}} \cdot v = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_D S \cdot v = \tfrac{1}{2}\rho C_D S \cdot v^3

Step 3合并为通用形式 / Unified Form

把上面两项合并,定义两个常数 $K_i$ (诱导项系数)、$K_p$ (寄生项系数):

$$P(v) = \frac{K_i}{v} + K_p \cdot v^3$$

系数定义 / Coefficient Definitions

$K_i$$= \dfrac{(mg)^2}{2\rho N_r A_d}$ — 诱导功率系数 induced power coefficient,$P_i = K_i / v$
$K_p$$= \dfrac{1}{2}\rho C_D S$ — 寄生功率系数 parasite power coefficient,$P_p = K_p v^3$

$K_i$ 由"养重量"决定,与 $\rho$ 成反比;$K_p$ 由"克服空气"决定,与 $\rho$ 成正比。这两者关于 $\rho$ 是对偶的——这一点在第 6 步会显出威力。

Step 4航程定义与极值条件 / Range & Optimization

航程 = 速度 × 续航 = $v \cdot E/P(v)$:

R(v) = \frac{E \cdot v}{P(v)} = \frac{E \cdot v}{K_i/v + K_p v^3} = \frac{E \cdot v^2}{K_i + K_p \cdot v^4}

对 $v$ 求导,令 $dR/dv = 0$:

\frac{dR}{dv} = E \cdot \frac{2v(K_i + K_p v^4) - v^2 \cdot 4 K_p v^3}{(K_i + K_p v^4)^2} = \frac{2vE \cdot (K_i - K_p v^4)}{(K_i + K_p v^4)^2} = 0

得到极值条件 $K_i = K_p v^4$,即:

$$v_{\text{best-range}} = \left(\frac{K_i}{K_p}\right)^{1/4} = \left(\frac{(mg)^2}{\rho^2 N_r A_d C_D S}\right)^{1/4}$$

这同时意味着:在最优巡航速度下,诱导功率等于寄生功率 ($P_i = P_p$)。

Step 5最优速度处的总功率 / Power at $v_{\text{best-range}}$

代入 $K_p v^4 = K_i$,$K_i + K_p v^4 = 2 K_i$;同时 $v^2 = (K_i/K_p)^{1/2}$:

P(v_{\text{best-range}}) = \frac{K_i}{v} + K_p v^3 = \frac{2 K_i}{v_{\text{best-range}}} = 2 \, K_i^{3/4} K_p^{1/4}

Step 6最大航程公式 / Maximum Range Formula

把 $v_{\text{best-range}}$ 和 $P(v_{\text{best-range}})$ 代入 $R = vE/P$:

R_{\max} = \frac{v_{\text{best-range}} \cdot E}{P(v_{\text{best-range}})} = \frac{(K_i/K_p)^{1/4} \cdot E}{2 \, K_i^{3/4} K_p^{1/4}} = \frac{E}{2 \sqrt{K_i K_p}}

把 $K_i K_p$ 展开:

K_i K_p = \frac{(mg)^2}{2\rho N_r A_d} \cdot \frac{\rho C_D S}{2} = \frac{(mg)^2 \, C_D \, S}{4 \, N_r \, A_d}

注意 $\rho$ 在乘积中完全抵消。这正是 Step 3 提到的对偶性的结果——空气稀薄时虽然旋翼难产生升力 ($P_i \uparrow$),但同时阻力也减小 ($P_p \downarrow$),两者在最优速度处恰好平衡。

$$R_{\max} = \frac{E \, \sqrt{N_r A_d}}{mg \sqrt{C_D S}} = \frac{E \cdot D \sqrt{\pi N_r}}{2 \, mg \sqrt{C_D S}}$$

Step 7标度关系 / Scaling Relations

提取主要变量,得到清爽的比例关系:

$$R_{\max} \propto \frac{E \cdot D \cdot \sqrt{N_r}}{mg \cdot \sqrt{C_D S}} \quad \text{(与 } \rho \text{ 无关)}$$

因素	关系	该参数变化 10% 带来航程变化
电池能量 $E$	线性 $R \propto E$	$E$ +10% → $R$ +10.0%
整机重量 $mg$	反比 $R \propto 1/m$	$m$ −10% → $R$ +11.1%
桨直径 $D$	线性 $R \propto D$	$D$ +10% → $R$ +10.0%
旋翼数量 $N_r$	平方根 $R \propto \sqrt{N_r}$	$N_r$ +10% → $R$ +4.9%
迎风面积 $S$	平方根反比 $R \propto S^{-1/2}$	$S$ −10% → $R$ +5.4%
阻力系数 $C_D$	平方根反比 $R \propto C_D^{-1/2}$	$C_D$ −10% → $R$ +5.4%
空气密度 $\rho$	无关 (在 $v_{\text{best}}$ 处抵消)	$\rho$ 变化 → $R$ 不变

最强的杠杆是电池能量、减重、桨直径(都是线性);其次是阻力相关项(平方根);而空气密度对航程无影响——但会改变最优巡航速度 $v_{\text{best-range}} \propto 1/\sqrt{\rho}$,即高原飞同样的航程需要飞得更快。

6.4 飞多久 — 续航时间 Maximum Endurance

Step 1续航公式推导 / Endurance Derivation

悬停续航 = 电池能量 / 悬停功率:

t = \frac{E}{P_{\text{hover}}} = \frac{e \cdot m_b}{(mg)^{3/2} / (\sqrt{2\rho N_r A_d} \cdot \eta)}

代入 $m = m_0 + m_b$,把常数项分离:

t = \frac{e \cdot \sqrt{2\rho N_r A_d} \cdot \eta}{g^{3/2}} \cdot \frac{m_b}{(m_0 + m_b)^{3/2}}

设设计常数 $K = \dfrac{e\sqrt{2\rho N_r A_d}\,\eta}{g^{3/2}}$,简化为:

$$t(m_b) = K \cdot \frac{m_b}{(m_0 + m_b)^{3/2}}$$

Step 2求最优电池质量 / Optimal Battery Mass

对 $m_b$ 求导:

\frac{dt}{dm_b} = K \cdot \frac{(m_0 + m_b)^{3/2} - m_b \cdot \tfrac{3}{2}(m_0 + m_b)^{1/2}}{(m_0 + m_b)^3}

令分子为零:

(m_0 + m_b) = \tfrac{3}{2} m_b \implies m_0 = \tfrac{1}{2} m_b

$$m_{b,\text{opt}} = 2 m_0$$

对应的电池占总重比例:

\frac{m_b}{m_0 + m_b} = \frac{2m_0}{m_0 + 2m_0} = \frac{2}{3} \approx 67\%

Step 3数值验证 / Numerical Verification

设 $m_0 = 5$ kg、$D = 0.5$ m、$e = 250$ Wh/kg、$\eta = 0.5$、$\rho = 1.225$ kg/m³,数值搜索结果:

$m_b$ (kg)	电池占比	续航 (min)
1.0	16.7%	11.5
2.0	28.6%	18.3
5.0	50.0%	26.8
7.5	60.0%	28.7
10.0	66.7%	29.1 (峰值)
12.5	71.4%	28.9
15.0	75.0%	28.4
20.0	80.0%	27.1

峰值出现在 $m_b = 10$ kg = $2 m_0$ 处,与理论推导一致。

Step 4实际工程的修正约束 / Real-World Constraints

纯数学最优为电池占比 67%,但实际无人机一般 30~40%,原因如下:

结构连带效应:加电池会带动机架、电机、桨、电调一起加重,$m_0$ 并非严格不变
C-rate 限制:电池峰值放电能力有上限,大功率时受电流约束
起降冗余:必须留 15~20% 电量作为安全余量
载荷可变:带载荷起飞、空载返回 (尤其农业、物流场景),$m_0$ 在变化
振动与稳定性:超大电池布置困难,影响重心和操控

Chapter 07

总结

Summary — Four Key Performance Parameters

把前面六章的推导整合成一张全景表。每个性能参数都是物理公式的必然结果——不是凭空设定的指标。

性能 Parameter	严格公式 Exact Formula	简化标度 Scaling	关键决定因素 Key Factors
飞多高 Ceiling	$\rho_{\text{ceil}} = \dfrac{(mg)^3}{2 N_r A_d (\eta P_{\max})^2}$	$h_{\max} = \min(h_{\text{推力}},\ h_{\text{能量}})$	由推力升限(最大功率刚够维持悬停)与能量升限(电池够爬升+返航)中的较小值决定
飞多快 Max Speed	$v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2\sqrt{T_{\max}^2 - (mg)^2}}{\rho C_D S}}$	$v_{\max} \propto \sqrt[3]{P_{\max}}$ (大推重比)	最大功率 $P_{\max}$、整机重量 $mg$、阻力系数 $C_D$、迎风面积 $S$、空气密度 $\rho$;最大推力先支撑重力,剩下的分量才用于克服阻力
飞多远 Range	$R_{\max} = \dfrac{E \sqrt{N_r A_d}}{mg \sqrt{C_D S}}$	$R \propto \dfrac{E \cdot D \cdot \sqrt{N_r}}{mg \cdot \sqrt{C_D S}}$	电池能量 $E$、整机重量 $mg$、桨直径 $D$、阻力系数 $C_D$ 与迎风面积 $S$;与空气密度 $\rho$ 无关;存在最优巡航速度 $v^4 = K_i/K_p$
飞多久 Endurance	$t = \dfrac{\eta \, e \, m_b \sqrt{2\rho N_r A_d}}{(m_0 + m_b)^{3/2} \, g^{3/2}}$	最优 $m_b = 2 m_0$ (数学极值)	电池能量密度 $e$、空机质量 $m_0$、电池质量 $m_b$、桨盘面积、空气密度;续航不是 $m_b$ 越大越长——存在最优值

本讲义所有公式均经物理推导与数值验证 (SymPy)。具体型号性能以拉力台实测和飞行测试数据为准。