接触点决定受力方向
同样大小的两个球相切时，球心距为 2r。接触点 M 位于球心连线中点，无摩擦碰撞的冲量沿这条线传递。
n = (O − G) / (2r)
M = (O + G) / 2
M = (O + G) / 2
O：目标球心 G：碰撞瞬间白球心
n：目标球出球的单位方向
从一杆球，读懂一个角度
球碰在哪里，就往哪里走？
准备击球
把参考图动起来 · 拖动假想球，直接改变切球角
放大图↗
目标球沿两球球心的连线出发。白球的来球方向，和目标球的出球方向，是两条不同的线。
图形背后的数学
先看球心，再看接触点。
半球为什么是 30°？
b 是目标球心到白球入射直线的有向垂直距离。相切球心构成直角三角形，所以：
sin φ = |b| / (2r)
f = 1 − |b| / (2r)
f = 1 − |b| / (2r)
f 是沿来球方向看的直径重叠比例，并非球面接触面积。半球 f = ½，故 φ = 30°。
让白球心到达假想球心
若希望目标球沿单位方向 n 走，就在它后方放一颗相切的“假想球”，让白球心沿 C → G 运动。
G = O − 2r n
u = (G − C) / ‖G − C‖
u = (G − C) / ‖G − C‖
C：白球起点。目标球表面的接触点 M 和假想球心 G 相差一个半径，不能把 M 当成白球心的瞄准点。
先把袋口映到库边外
上库实体边线为 y = 0，球有半径，因此球心反射线是 y = r。把袋口目标 P 关于这条线镜像为 P′。
P′ = P − 2[(P − A) · N]N
A：反射线上任一点；N：法线单位向量。上库特例：P′ = (Pₓ, 2r − Pᵧ)。
连向镜像，找到反弹点
连接 O 与 P′，和球心反射线的交点就是 K。展开的直线保证入射角与反射角相等。
t = [(A − O) · N] / [(P′ − O) · N]
K = O + t(P′ − O)
K = O + t(P′ − O)
必须有 0 < t < 1，而且 K 对应实体库段，不能落在袋口开口。
沿 O → K 倒推假想球
目标球先沿 O → K 运动；由这个方向倒推 G，再让白球沿 C → G 来球。浅蓝色虚圆就是该瞄的球心位置。
n = (K − O) / ‖K − O‖
G = O − 2r n
G = O − 2r n
球心反弹点 K 和球体接触库边的点 Q 相距 r。白球必须能从正确一侧先到达 G。
把目标球心翻到库边外
这就是参考图的一库解球：白球先碰库，再碰目标球。把目标球心 O 关于球心反射线镜像为 O′，镜像两侧的垂直距离相等。
O′ = O − 2[(O − A) · N]N
右库实体边线为 x = 1000，球心反射线为 x = 1000 − r = 982。镜像轴用球心反射线。
从白球连向镜像球心
C → O′ 与反射线相交于 K，白球沿 C → K 碰库，反射后朝向 O。自行改变入射角，就能观察正碰、切碰和打空之间的变化。
K = C + t(O′ − C)
t = [(A − C) · N] / [(O′ − C) · N]
t = [(A − C) · N] / [(O′ − C) · N]
撞库以后，仍遵守切球几何
镜像球心 O′ 对应碰库后正碰目标球。实际首次碰球时，白球心到 O 的距离为 2r，白球不会穿过目标球心。
G = O − 2r u反射
v反射 = v − 2(v · N)N
v反射 = v − 2(v · N)N
第一式仅适用于反射后正碰。偏离镜像正碰线时，接触点通过射线与半径 2r 圆的第一次交点重新求解。
完整推导、速度关系与模型边界＋
从射线求第一次接触
令白球起点 C，目标球心 O，入射单位方向 u，垂直单位方向 u⊥ = (−uᵧ, uₓ)。记 d = O − C，a = d · u，b = d · u⊥。白球心沿 C + su 运动，首次相切满足 ‖C + su − O‖ = 2r，因此：
s = a − √((2r)² − b²)，G = C + su
必须满足 |b| ≤ 2r、s ≥ 0、初始两球不重叠，且在接触前没有碰库。|b| = 2r 是擦边极限，法向冲量为零；不能把 90° 极限画成目标球实际获得速度。正碰时白球停住，其碰后方向不再定义。
相同质量、弹性、无摩擦碰撞
v′目标 = (v · n)n
v′白 = v − (v · n)n
|v′目标| / |v| = cos φ，|v′白| / |v| = sin φ
v′白 = v − (v · n)n
|v′目标| / |v| = cos φ，|v′白| / |v| = sin φ
由动量守恒、动能守恒以及无切向冲量得到这组关系。两颗球都在运动时，碰后速度点积为零，即夹角 90°。这是无旋转模型中碰撞瞬间的关系；真实高杆、低杆和台呢摩擦会改变白球后续路线。
镜像法为什么成立
理想平直库边保持切向速度不变，反转法向速度。N 指向台面内部，反射公式为：
v出 = v入 − 2(v入 · N)N
α = arccos(−u入 · N)
β = arccos(u出 · N)，α = β
α = arccos(−u入 · N)
β = arccos(u出 · N)，α = β
把反弹后的线段关于反射线翻转，它与入射线段成为同一条直线。网页始终用球心在库边内侧 r 处的反射线计算，而不是把球当作没有半径的点。
这个模型能解释什么
球台为 1000 × 500 图示单位，球半径 r = 18；球相对球台作教学放大，两球及几何关系保持同一尺度。六个袋口以球心可达边界上的目标点 P 近似：角袋为 (r,r) 等，中袋为 (500,r) 等。图中袋口圆圈仅标示位置。
模拟忽略旋转、球间摩擦引起的碰撞偏移、台呢减速、库边压缩、袋角与袋口容差；库边开口附近的反弹会被判为不可用。动画按速度比例演示首碰和目标球的一次反射，白球在首次碰库后停止展示，后续两球再碰撞未建模。因此“瞄准成立”表示到达简化袋口目标，不是对真实球台进球的保证。
真实碰库若法向恢复系数为 e、切向保留系数为 k，在无旋转简化下 tan β = (k/e) tan α，只有 k = e 时才有等角。旋转还会改变切向速度，不能用一个固定“加几度”适配所有球台。